Attachment 129111 Details for Bug 99506 – Extracted text from the example PDF

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>7.2 OrthogonalitaÌt
>
>253
>
>Ist qU : V ââ U irgendeine lineare Abbildung mit x â qU (x), y = 0 fuÌr
>x â V und y â U , so hat man insbesondere pU (x) â qU (x), y = 0 fuÌr x â V
>und y â U . Da sich das Skalarprodukt von V zu einem Skalarprodukt auf U
>beschraÌnkt, gilt notwendig pU (x)âqU (x) = 0 fuÌr x â V und damit pU = qU . 
>Ist nun x1 , . . . , xn eine Basis eines euklidischen bzw. unitaÌren K-Vektorraums, so kann man zunaÌchst x1 normieren, also den Vektor e1 = |x1 |â1 Â· x1
>betrachten. Sodann kann man gemaÌÃ Lemma 4 die Projektion p1 von V auf
>den Untervektorraum U1 = Ke1 bilden. Der Vektor e2 = x2 â p1 (x2 ) ist dann
>orthogonal zu e1 , und e1 bildet zusammen mit |e2 |â1 Â· e2 ein Orthonormalsystem e1 , e2 . FaÌhrt man in dieser Weise fort, so kann man die Basis x1 , . . . , xn
>orthonormalisieren, d. h. insgesamt in eine Orthonormalbasis uÌberfuÌhren. Wir
>wollen dieses Resultat hier noch genauer formulieren und beweisen.
>Satz 5. Sei Î¦ : V Ã V ââ K ein Skalarprodukt, und sei x1 , . . . , xn eine Basis
>von V . Dann existieren eindeutig Vektoren e1 , . . . , en â V , so dass gilt:
>(i) e
>eine Orthonormalbasis von V .
>1 , . . . , en ist
>k
>k
>(ii)
>i=1 Kei =
>i=1 Kxi fuÌr k = 1, . . . , n.
>(iii) FuÌr die Basiswechselmatrix Ak = Aid,Ek ,Xk mit Ek = (e1 , . . . , ek ) und
>Xk = (x1 , . . . , xk ) gilt det Ak > 0, k = 1, . . . , n.1
>Genauer lassen sich die Vektoren ek fuÌr k = 1, . . . , n in induktiver Weise
>wie folgt konstruieren:
>ek = |xk â
>
>kâ1
>
>j=1
>
>xk , ej ej |â1 Â· (xk â
>
>kâ1
>
>xk , ej ej ).
>j=1
>
>Beweis. Wir zeigen zunaÌchst die Existenzaussage und verwenden dabei Induktion nach n. Der Induktionsanfang n = 0 ist 
>trivial. Sei also n > 0, und sei
>e1 , . . . , enâ1 eine Orthonormalbasis von Unâ1 = nâ1
>i=1 Kxi , welche
>nâ1die gewuÌnschten Eigenschaften besitzt. Man hat dann xn â Unâ1 =
>i=1 Kei , so dass
>xn â pnâ1 (xn ) von Null verschieden ist; pnâ1 : V ââ Unâ1 sei die Projektion
>gemaÌÃ Lemma 4. Dann ist
>en = |xn â pnâ1 (xn )|â1 Â· (xn â pnâ1 (xn ))
>wohldeï¬niert, und es folgt mit Bemerkung 2 sowie Lemma 4, dass e1 , . . . , en
>eine Orthonormalbasis von V bilden. Weiter besteht gemaÌÃ Deï¬nition von en
>eine Gleichung des Typs
>en = Î± Â· x n + y
>mit einer Konstanten Î± > 0 und einem Vektor y â Unâ1 . Hieraus ergibt sich
>
>
>Anâ1 â
>,
>An =
>0
>Î±
>
>und es folgt det An = Î± Â· det Anâ1 > 0 wegen Î±, det Anâ1 > 0.
>1
>
>GemaÌÃ unserer Konvention schlieÃt det Ak > 0 die Bedingung det Ak â R mit ein.
>
>

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